حل {l}{2x+3y=8}{3x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 3 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=8$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، 3x+3y=9.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+3y=9$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{9}{2}y+12+3y=9$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 3y.

$$-\frac{3}{2}y+12=9$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=-3$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+4$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x=-3+4$$

اجمع 4 مع -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&\frac{2}{2\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8+9\\8-\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

اطرح 3x+3y=9 من 2x+3y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-3x+3y-3y=8-9$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-3x=8-9$$

اجمع 2x مع -3x.

$$-x=8-9$$

اجمع 8 مع -9.

$$-x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في 3x+3y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3+3y=9$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$3y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$