حل {l}{2x+3y=7}{6x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 6 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} = 1.4375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 6x+y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=10$$

اضرب 6 في \frac{-3y+7}{2}.

$$-9y+21+y=10$$

اجمع -9y مع y.

$$-8y+21=10$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$-8y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=\frac{11}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{8} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{11}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{33}{16}+\frac{7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{33}{16} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{23}{16}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 7+\frac{3}{16}\times 10\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

لجعل 2x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 7,2\times 6x+2y=2\times 10$$

تبسيط.

$$12x+18y=42,12x+2y=20$$

اطرح 12x+2y=20 من 12x+18y=42 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+18y-2y=42-20$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y-2y=42-20$$

اجمع 18y مع -2y.

$$16y=42-20$$

اجمع 42 مع -20.

$$16y=22$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=\frac{11}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{8} في 6x+y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+\frac{11}{8}=10$$

اطرح \frac{11}{8} من طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{69}{8}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{23}{16}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$