حل {l}{2x+3y=5}{7x=6-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{8}{17}\approx 0.470588235$$

$$y = \frac{23}{17} = 1\frac{6}{17} \approx 1.352941176$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+5}{2} في المعادلة الأخرى، 7x+2y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=6$$

اضرب 7 في \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+2y=6$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع 2y.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

اطرح \frac{35}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{2}y=-\frac{23}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{23}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{17} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{17}+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{23}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{69}{34}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{69}{34} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 6\\\frac{7}{17}\times 5-\frac{2}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\\\frac{23}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

لجعل 2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 2y=2\times 6$$

تبسيط.

$$14x+21y=35,14x+4y=12$$

اطرح 14x+4y=12 من 14x+21y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+21y-4y=35-12$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y-4y=35-12$$

اجمع 21y مع -4y.

$$17y=35-12$$

اجمع 35 مع -12.

$$17y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=\frac{23}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{17} في 7x+2y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+2\times \frac{23}{17}=6$$

اضرب 2 في \frac{23}{17}.

$$7x+\frac{46}{17}=6$$

اطرح \frac{46}{17} من طرفي المعادلة.

$$7x=\frac{56}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{8}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$