حل {l}{2x+3y=5}{7x=4y-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{11}{29}\approx 0.379310345$$

$$y = \frac{41}{29} = 1\frac{12}{29} \approx 1.413793103$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4y من الطرفين.

$$7x-4y=-3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+5}{2} في المعادلة الأخرى، 7x-4y=-3.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-3$$

اضرب 7 في \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-3$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-3$$

اطرح \frac{35}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{41}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{29}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{41}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{29} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{41}{29}+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{41}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{123}{58}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{123}{58} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4y من الطرفين.

$$7x-4y=-3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-3\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{29}\\\frac{41}{29}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4y من الطرفين.

$$7x-4y=-3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

لجعل 2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$14x+21y=35,14x-8y=-6$$

اطرح 14x-8y=-6 من 14x+21y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+21y+8y=35+6$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y+8y=35+6$$

اجمع 21y مع 8y.

$$29y=35+6$$

اجمع 35 مع 6.

$$29y=41$$

قسمة طرفي المعادلة على 29.

$$y=\frac{41}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{29} في 7x-4y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-4\times \frac{41}{29}=-3$$

اضرب -4 في \frac{41}{29}.

$$7x-\frac{164}{29}=-3$$

أضف \frac{164}{29} إلى طرفي المعادلة.

$$7x=\frac{77}{29}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{11}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$