حل {l}{2x+3y=4}{3x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=14$$

$$y=-8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=4$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 3x+4y=10.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+4y=10$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+4y=10$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 4y.

$$-\frac{1}{2}y+6=10$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في x=-\frac{3}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)+2$$

اضرب -\frac{3}{2} في -8.

$$x=12+2$$

اجمع 2 مع 12.

$$x=14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=14,y=-8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 4+3\times 10\\3\times 4-2\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=14,y=-8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 4y=2\times 10$$

تبسيط.

$$6x+9y=12,6x+8y=20$$

اطرح 6x+8y=20 من 6x+9y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y-8y=12-20$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-8y=12-20$$

اجمع 9y مع -8y.

$$y=12-20$$

اجمع 12 مع -20.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في 3x+4y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-8\right)=10$$

اضرب 4 في -8.

$$3x-32=10$$

أضف 32 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=42$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=14,y=-8$$