حل {l}{2x+3y=30}{6x+8y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 30 } \\ { 6 x + 8 y = 42 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-57$$

$$y=48$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=30$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+30$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+30\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+30.

$$x=-\frac{3}{2}y+15$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+15 في المعادلة الأخرى، 6x+8y=42.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+15\right)+8y=42$$

اضرب 6 في -\frac{3y}{2}+15.

$$-9y+90+8y=42$$

اجمع -9y مع 8y.

$$-y+90=42$$

اطرح 90 من طرفي المعادلة.

$$-y=-48$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=48$$

عوّض عن y بالقيمة 48 في x=-\frac{3}{2}y+15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 48+15$$

اضرب -\frac{3}{2} في 48.

$$x=-72+15$$

اجمع 15 مع -72.

$$x=-57$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-57,y=48$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 8-3\times 6}&\frac{2}{2\times 8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{3}{2}\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 30+\frac{3}{2}\times 42\\3\times 30-42\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-57\\48\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-57,y=48$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

لجعل 2x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 30,2\times 6x+2\times 8y=2\times 42$$

تبسيط.

$$12x+18y=180,12x+16y=84$$

اطرح 12x+16y=84 من 12x+18y=180 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+18y-16y=180-84$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y-16y=180-84$$

اجمع 18y مع -16y.

$$2y=180-84$$

اجمع 180 مع -84.

$$2y=96$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=48$$

عوّض عن y بالقيمة 48 في 6x+8y=42. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+8\times 48=42$$

اضرب 8 في 48.

$$6x+384=42$$

اطرح 384 من طرفي المعادلة.

$$6x=-342$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-57$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-57,y=48$$