حل {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=20$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+10 في المعادلة الأخرى، 7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

اضرب 7 في -\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

اطرح 70 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{2}y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x=-3+10$$

اجمع 10 مع -3.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

لجعل 2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

تبسيط.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

اطرح 14x+4y=106 من 14x+21y=140 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y-4y=140-106$$

اجمع 21y مع -4y.

$$17y=140-106$$

اجمع 140 مع -106.

$$17y=34$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 7x+2y=53. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+2\times 2=53$$

اضرب 2 في 2.

$$7x+4=53$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$7x=49$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=2$$