حل {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=19$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+19.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+19}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+11y=53.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

اضرب 4 في \frac{-3y+19}{2}.

$$-6y+38+11y=53$$

اجمع -6y مع 11y.

$$5y+38=53$$

اطرح 38 من طرفي المعادلة.

$$5y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 3.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

اجمع \frac{19}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

تبسيط.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

اطرح 8x+22y=106 من 8x+12y=76 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-22y=76-106$$

اجمع 12y مع -22y.

$$-10y=76-106$$

اجمع 76 مع -106.

$$-10y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 4x+11y=53. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+11\times 3=53$$

اضرب 11 في 3.

$$4x+33=53$$

اطرح 33 من طرفي المعادلة.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=3$$