حل {l}{2x+3y=17}{6x-5y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 17 } \\ { 6 x - 5 y = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=17,6x-5y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=17$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+17.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+17}{2} في المعادلة الأخرى، 6x-5y=30.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=30$$

اضرب 6 في \frac{-3y+17}{2}.

$$-9y+51-5y=30$$

اجمع -9y مع -5y.

$$-14y+51=30$$

اطرح 51 من طرفي المعادلة.

$$-14y=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{3}{2}+\frac{17}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{3}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{9}{4}+\frac{17}{2}$$

اجمع \frac{17}{2} مع -\frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{25}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=17,6x-5y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 17+\frac{3}{28}\times 30\\\frac{3}{14}\times 17-\frac{1}{14}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=17,6x-5y=30$$

لجعل 2x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 17,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 30$$

تبسيط.

$$12x+18y=102,12x-10y=60$$

اطرح 12x-10y=60 من 12x+18y=102 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+18y+10y=102-60$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y+10y=102-60$$

اجمع 18y مع 10y.

$$28y=102-60$$

اجمع 102 مع -60.

$$28y=42$$

قسمة طرفي المعادلة على 28.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في 6x-5y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-5\times \frac{3}{2}=30$$

اضرب -5 في \frac{3}{2}.

$$6x-\frac{15}{2}=30$$

أضف \frac{15}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{75}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{25}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{3}{2}$$