حل {l}{2x+3y=1520}{3x+2y=1700}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1520 } \\ { 3 x + 2 y = 1700 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=412$$

$$y=232$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=1520$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+1520$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1520\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+1520.

$$x=-\frac{3}{2}y+760$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+760 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=1700.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+760\right)+2y=1700$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{2}+760.

$$-\frac{9}{2}y+2280+2y=1700$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 2y.

$$-\frac{5}{2}y+2280=1700$$

اطرح 2280 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}y=-580$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=232$$

عوّض عن y بالقيمة 232 في x=-\frac{3}{2}y+760. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 232+760$$

اضرب -\frac{3}{2} في 232.

$$x=-348+760$$

اجمع 760 مع -348.

$$x=412$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=412,y=232$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 1520+\frac{3}{5}\times 1700\\\frac{3}{5}\times 1520-\frac{2}{5}\times 1700\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}412\\232\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=412,y=232$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 1520,2\times 3x+2\times 2y=2\times 1700$$

تبسيط.

$$6x+9y=4560,6x+4y=3400$$

اطرح 6x+4y=3400 من 6x+9y=4560 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y-4y=4560-3400$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-4y=4560-3400$$

اجمع 9y مع -4y.

$$5y=4560-3400$$

اجمع 4560 مع -3400.

$$5y=1160$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=232$$

عوّض عن y بالقيمة 232 في 3x+2y=1700. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times 232=1700$$

اضرب 2 في 232.

$$3x+464=1700$$

اطرح 464 من طرفي المعادلة.

$$3x=1236$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=412$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=412,y=232$$