حل {l}{2x+3y=11}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=11$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+11.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+11}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=8.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=8$$

اضرب 3 في \frac{-3y+11}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{33}{2}+2y=8$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 2y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=8$$

اطرح \frac{33}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{17}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{17}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{5} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{17}{5}+\frac{11}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{17}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{51}{10}+\frac{11}{2}$$

اجمع \frac{11}{2} مع -\frac{51}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 11+\frac{3}{5}\times 8\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{17}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 11,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

تبسيط.

$$6x+9y=33,6x+4y=16$$

اطرح 6x+4y=16 من 6x+9y=33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y-4y=33-16$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-4y=33-16$$

اجمع 9y مع -4y.

$$5y=33-16$$

اجمع 33 مع -16.

$$5y=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{17}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{5} في 3x+2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{17}{5}=8$$

اضرب 2 في \frac{17}{5}.

$$3x+\frac{34}{5}=8$$

اطرح \frac{34}{5} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{6}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{2}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$