حل {l}{2x+3y=1}{3x-y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

$$y=-\frac{9}{11}\approx -0.818181818$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=1$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+1}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-y=6.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=6$$

اضرب 3 في \frac{-3y+1}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-y=6$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع -y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=6$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{9}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{11} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{9}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -\frac{9}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{27}{22}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{27}{22} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{19}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{3}{11}\times 6\\\frac{3}{11}-\frac{2}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{11}\\-\frac{9}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=1,3x-y=6$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6$$

تبسيط.

$$6x+9y=3,6x-2y=12$$

اطرح 6x-2y=12 من 6x+9y=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y+2y=3-12$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+2y=3-12$$

اجمع 9y مع 2y.

$$11y=3-12$$

اجمع 3 مع -12.

$$11y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{9}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{11} في 3x-y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-\left(-\frac{9}{11}\right)=6$$

اطرح \frac{9}{11} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{57}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{19}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{11},y=-\frac{9}{11}$$