حل {l}{2x+3y+5=0}{3x-2y-12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y + 5 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 12 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y+5=0$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$2x+3y=-5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y-5.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-5}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-2y-12=0.

$$3\left(-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-2y-12=0$$

اضرب 3 في \frac{-3y-5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{15}{2}-2y-12=0$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع -2y.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{15}{2}-12=0$$

اجمع -\frac{15}{2} مع -12.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{39}{2}=0$$

أضف \frac{39}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{13}{2}y=\frac{39}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -3.

$$x=\frac{9-5}{2}$$

اجمع -\frac{5}{2} مع \frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-5\right)+\frac{3}{13}\times 12\\\frac{3}{13}\left(-5\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y+3\times 5=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-12\right)=0$$

تبسيط.

$$6x+9y+15=0,6x-4y-24=0$$

اطرح 6x-4y-24=0 من 6x+9y+15=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y+4y+15+24=0$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+4y+15+24=0$$

اجمع 9y مع 4y.

$$13y+15+24=0$$

اجمع 15 مع 24.

$$13y+39=0$$

اطرح 39 من طرفي المعادلة.

$$13y=-39$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 3x-2y-12=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\left(-3\right)-12=0$$

اضرب -2 في -3.

$$3x+6-12=0$$

اجمع 6 مع -12.

$$3x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$