حل {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+2y=28$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$2x=-2y+28$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -2y+28.

$$x=-y+14$$

عوّض عن x بالقيمة -y+14 في المعادلة الأخرى، x+3y=24.

$$-y+14+3y=24$$

اجمع -y مع 3y.

$$2y+14=24$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$2y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-y+14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5+14$$

اجمع 14 مع -5.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

تبسيط.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

اطرح 2x+6y=48 من 2x+2y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-6y=28-48$$

اجمع 2y مع -6y.

$$-4y=28-48$$

اجمع 28 مع -48.

$$-4y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+3y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\times 5=24$$

اضرب 3 في 5.

$$x+15=24$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$