حل {l}{2r+3s=37}{8r+9s=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 r + 3 s = 37 } \\ { 8 r + 9 s = 124 } \end{array} \right.$$

حل مسائل r، s

$$r = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$s=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة r بعزل r على يسار علامة التساوي.

$$2r+3s=37$$

اطرح 3s من طرفي المعادلة.

$$2r=-3s+37$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(-3s+37\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3s+37.

$$r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}$$

عوّض عن r بالقيمة \frac{-3s+37}{2} في المعادلة الأخرى، 8r+9s=124.

$$8\left(-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}\right)+9s=124$$

اضرب 8 في \frac{-3s+37}{2}.

$$-12s+148+9s=124$$

اجمع -12s مع 9s.

$$-3s+148=124$$

اطرح 148 من طرفي المعادلة.

$$-3s=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$s=8$$

عوّض عن s بالقيمة 8 في r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة r مباشرةً.

$$r=-\frac{3}{2}\times 8+\frac{37}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 8.

$$r=-12+\frac{37}{2}$$

اجمع \frac{37}{2} مع -12.

$$r=\frac{13}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 8}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 8}\\-\frac{8}{2\times 9-3\times 8}&\frac{2}{2\times 9-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 37+\frac{1}{2}\times 124\\\frac{4}{3}\times 37-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة r وs.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

لجعل 2r و8r متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$8\times 2r+8\times 3s=8\times 37,2\times 8r+2\times 9s=2\times 124$$

تبسيط.

$$16r+24s=296,16r+18s=248$$

اطرح 16r+18s=248 من 16r+24s=296 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$16r-16r+24s-18s=296-248$$

اجمع 16r مع -16r. حذف الحدين 16r و-16r، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24s-18s=296-248$$

اجمع 24s مع -18s.

$$6s=296-248$$

اجمع 296 مع -248.

$$6s=48$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$s=8$$

عوّض عن s بالقيمة 8 في 8r+9s=124. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة r مباشرةً.

$$8r+9\times 8=124$$

اضرب 9 في 8.

$$8r+72=124$$

اطرح 72 من طرفي المعادلة.

$$8r=52$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$r=\frac{13}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$