حل {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل n، m

$$n=2$$

$$m=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة n بعزل n على يسار علامة التساوي.

$$2n-3m=1$$

أضف 3m إلى طرفي المعادلة.

$$2n=3m+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3m+1.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{3m+1}{2} في المعادلة الأخرى، n+m=3.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

اجمع \frac{3m}{2} مع m.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$m=1$$

عوّض عن m بالقيمة 1 في n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة n مباشرةً.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$n=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$n=2,m=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة n وm.

$$n=2,m=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

لجعل 2n وn متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

تبسيط.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

اطرح 2n+2m=6 من 2n-3m=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

اجمع 2n مع -2n. حذف الحدين 2n و-2n، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3m-2m=1-6$$

اجمع -3m مع -2m.

$$-5m=1-6$$

اجمع 1 مع -6.

$$-5m=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$m=1$$

عوّض عن m بالقيمة 1 في n+m=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة n مباشرةً.

$$n+1=3$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$n=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$n=2,m=1$$