حل {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m-3n=-1$$

أضف 3n إلى طرفي المعادلة.

$$2m=3n-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3n-1.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{3n-1}{2} في المعادلة الأخرى، m+n=3.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

اجمع \frac{3n}{2} مع n.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

أضف \frac{1}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=\frac{7}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{7}{5} في m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{7}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{21}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

لجعل 2m وm متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

تبسيط.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

اطرح 2m+2n=6 من 2m-3n=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

اجمع 2m مع -2m. حذف الحدين 2m و-2m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3n-2n=-1-6$$

اجمع -3n مع -2n.

$$-5n=-1-6$$

اجمع -1 مع -6.

$$-5n=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$n=\frac{7}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{7}{5} في m+n=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

اطرح \frac{7}{5} من طرفي المعادلة.

$$m=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$