حل {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m+3n=22$$

اطرح 3n من طرفي المعادلة.

$$2m=-3n+22$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

عوّض عن m بالقيمة -\frac{3n}{2}+11 في المعادلة الأخرى، m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

اجمع -\frac{3n}{2} مع -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

اطرح 11 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=\frac{10}{7}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{10}{7} في m=-\frac{3}{2}n+11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{10}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

اجمع 11 مع -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

لجعل 2m وm متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

تبسيط.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

اطرح 2m-4n=12 من 2m+3n=22 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

اجمع 2m مع -2m. حذف الحدين 2m و-2m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3n+4n=22-12$$

اجمع 3n مع 4n.

$$7n=22-12$$

اجمع 22 مع -12.

$$7n=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{10}{7} في m-2n=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

اضرب -2 في \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

أضف \frac{20}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$m=\frac{62}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$