حل {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2bx+ay=2ab$$

اطرح ay من طرفي المعادلة.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

قسمة طرفي المعادلة على 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

اضرب \frac{1}{2b} في a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

عوّض عن x بالقيمة a-\frac{ay}{2b} في المعادلة الأخرى، bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

اضرب b في a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

اجمع -\frac{ay}{2} مع -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

اطرح ba من طرفي المعادلة.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

عوّض عن y بالقيمة -2b في x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

اضرب -\frac{a}{2b} في -2b.

$$x=a+a$$

اجمع a مع a.

$$x=2a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2a,y=-2b$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2a,y=-2b$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

لجعل 2bx وbx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في b وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

تبسيط.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

اطرح 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} من 2b^{2}x+aby=2ab^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع 2b^{2}x مع -2b^{2}x. حذف الحدين 2b^{2}x و-2b^{2}x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع bay مع 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع 2ab^{2} مع -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3ba.

$$y=-2b$$

عوّض عن y بالقيمة -2b في bx+\left(-a\right)y=4ab. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

اضرب -a في -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

اطرح 2ba من طرفي المعادلة.

$$bx=2ab$$

قسمة طرفي المعادلة على b.

$$x=2a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2a,y=-2b$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2bx+ay=2ab$$

اطرح ay من طرفي المعادلة.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

قسمة طرفي المعادلة على 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

اضرب \frac{1}{2b} في a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

عوّض عن x بالقيمة a-\frac{ay}{2b} في المعادلة الأخرى، bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

اضرب b في a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

اجمع -\frac{ay}{2} مع -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

اطرح ba من طرفي المعادلة.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

عوّض عن y بالقيمة -2b في x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

اضرب -\frac{a}{2b} في -2b.

$$x=a+a$$

اجمع a مع a.

$$x=2a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2a,y=-2b$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2a,y=-2b$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

لجعل 2bx وbx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في b وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

تبسيط.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

اطرح 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} من 2b^{2}x+aby=2ab^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع 2b^{2}x مع -2b^{2}x. حذف الحدين 2b^{2}x و-2b^{2}x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع bay مع 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

اجمع 2ab^{2} مع -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3ba.

$$y=-2b$$

عوّض عن y بالقيمة -2b في bx+\left(-a\right)y=4ab. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

اضرب -a في -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

اطرح 2ba من طرفي المعادلة.

$$bx=2ab$$

قسمة طرفي المعادلة على b.

$$x=2a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2a,y=-2b$$