حل {l}{2a+b=5}{a+b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + b = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=3$$

$$b=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2a+b=5,a+b=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$2a+b=5$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$2a=-b+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-b+5}{2} في المعادلة الأخرى، a+b=2.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+b=2$$

اجمع -\frac{b}{2} مع b.

$$\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}=2$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2a+b=5,a+b=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-2\\-5+2\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=3,b=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2a+b=5,a+b=2$$

اطرح a+b=2 من 2a+b=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2a-a+b-b=5-2$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2a-a=5-2$$

اجمع 2a مع -a.

$$a=5-2$$

اجمع 5 مع -2.

$$a=3$$

عوّض عن a بالقيمة 3 في a+b=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$3+b=2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$b=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=-1$$