حل {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=3$$

$$b=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$2a+b=5$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$2a=-b+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-b+5}{2} في المعادلة الأخرى، a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

اجمع -\frac{b}{2} مع 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=3,b=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

لجعل 2a وa متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

تبسيط.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

اطرح 2a+4b=2 من 2a+b=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

اجمع 2a مع -2a. حذف الحدين 2a و-2a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$b-4b=5-2$$

اجمع b مع -4b.

$$-3b=5-2$$

اجمع 5 مع -2.

$$-3b=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في a+2b=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

اضرب 2 في -1.

$$a-2=1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=-1$$