حل {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-12$$

$$b=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$2a+3b=0$$

اطرح 3b من طرفي المعادلة.

$$2a=-3b$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

اضرب \frac{1}{2} في -3b.

$$a=-\frac{3}{2}b$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{3b}{2} في المعادلة الأخرى، 2a+5b=16.

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

اضرب 2 في -\frac{3b}{2}.

$$-3b+5b=16$$

اجمع -3b مع 5b.

$$2b=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$b=8$$

عوّض عن b بالقيمة 8 في a=-\frac{3}{2}b. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

اضرب -\frac{3}{2} في 8.

$$a=-12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-12,b=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-12,b=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

اطرح 2a+5b=16 من 2a+3b=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

اجمع 2a مع -2a. حذف الحدين 2a و-2a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3b-5b=-16$$

اجمع 3b مع -5b.

$$-2b=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$b=8$$

عوّض عن b بالقيمة 8 في 2a+5b=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a+5\times 8=16$$

اضرب 5 في 8.

$$2a+40=16$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$2a=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=-12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-12,b=8$$