حل {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

التعبير عن \frac{\frac{1}{2}}{2} ككسر فردي.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 2، العدد العكسي لـ \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

اضرب \frac{3}{2} في 2 لتحصل على 3.

$$2x+8y=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} في المعادلة الأخرى، 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

اضرب 2 في -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

اطرح \frac{1}{6} من طرفي المعادلة.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{22}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{17}{44}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{44} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{17}{44} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

اجمع \frac{1}{12} مع -\frac{17}{132} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

التعبير عن \frac{\frac{1}{2}}{2} ككسر فردي.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 2، العدد العكسي لـ \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

اضرب \frac{3}{2} في 2 لتحصل على 3.

$$2x+8y=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

التعبير عن \frac{\frac{1}{2}}{2} ككسر فردي.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 2، العدد العكسي لـ \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

اضرب \frac{3}{2} في 2 لتحصل على 3.

$$2x+8y=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

تبسيط.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

اطرح 6x+24y=9 من 6x+2y=\frac{1}{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

اجمع 2y مع -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

اجمع \frac{1}{2} مع -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=\frac{17}{44}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{44} في 2x+8y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

اضرب 8 في \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

اطرح \frac{34}{11} من طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$