حل {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$16x-7y=-7$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$16x=7y-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

اضرب \frac{1}{16} في -7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7+7y}{16} في المعادلة الأخرى، 20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

اضرب 20 في \frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

اجمع \frac{35y}{4} مع -19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

أضف \frac{35}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{41}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{11}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{11}{41} في x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

اضرب \frac{7}{16} في -\frac{11}{41} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

اجمع -\frac{7}{16} مع -\frac{77}{656} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{91}{164}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

لجعل 16x و20x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 20 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

تبسيط.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

اطرح 320x-304y=-96 من 320x-140y=-140 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

اجمع 320x مع -320x. حذف الحدين 320x و-320x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-140y+304y=-140+96$$

اجمع -140y مع 304y.

$$164y=-140+96$$

اجمع -140 مع 96.

$$164y=-44$$

قسمة طرفي المعادلة على 164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{11}{41} في 20x-19y=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

اضرب -19 في -\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

اطرح \frac{209}{41} من طرفي المعادلة.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$