حل {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$16x-10y=10$$

أضف 10y إلى طرفي المعادلة.

$$16x=10y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{16} في 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5+5y}{8} في المعادلة الأخرى، -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

اضرب -8 في \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

اجمع -5y مع -6y.

$$-11y-5=6$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$-11y=11$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

اضرب \frac{5}{8} في -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

اجمع \frac{5}{8} مع -\frac{5}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

لجعل 16x و-8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

تبسيط.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

اطرح -128x-96y=96 من -128x+80y=-80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

اجمع -128x مع 128x. حذف الحدين -128x و128x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$80y+96y=-80-96$$

اجمع 80y مع 96y.

$$176y=-80-96$$

اجمع -80 مع -96.

$$176y=-176$$

قسمة طرفي المعادلة على 176.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -8x-6y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

اضرب -6 في -1.

$$-8x+6=6$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-8x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-1$$