حل {l}{16p+5q=83}{12p+6q=51}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 p + 5 q = 83 } \\ { 12 p + 6 q = 51 } \end{array} \right.$$

حل مسائل p، q

$$p = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4} = 6.75$$

$$q=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة p بعزل p على يسار علامة التساوي.

$$16p+5q=83$$

اطرح 5q من طرفي المعادلة.

$$16p=-5q+83$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$p=\frac{1}{16}\left(-5q+83\right)$$

اضرب \frac{1}{16} في -5q+83.

$$p=-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16}$$

عوّض عن p بالقيمة \frac{-5q+83}{16} في المعادلة الأخرى، 12p+6q=51.

$$12\left(-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16}\right)+6q=51$$

اضرب 12 في \frac{-5q+83}{16}.

$$-\frac{15}{4}q+\frac{249}{4}+6q=51$$

اجمع -\frac{15q}{4} مع 6q.

$$\frac{9}{4}q+\frac{249}{4}=51$$

اطرح \frac{249}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{4}q=-\frac{45}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$q=-5$$

عوّض عن q بالقيمة -5 في p=-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p=-\frac{5}{16}\left(-5\right)+\frac{83}{16}$$

اضرب -\frac{5}{16} في -5.

$$p=\frac{25+83}{16}$$

اجمع \frac{83}{16} مع \frac{25}{16} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$p=\frac{27}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{16\times 6-5\times 12}&-\frac{5}{16\times 6-5\times 12}\\-\frac{12}{16\times 6-5\times 12}&\frac{16}{16\times 6-5\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{36}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 83-\frac{5}{36}\times 51\\-\frac{1}{3}\times 83+\frac{4}{9}\times 51\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{4}\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة p وq.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

لجعل 16p و12p متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 16.

$$12\times 16p+12\times 5q=12\times 83,16\times 12p+16\times 6q=16\times 51$$

تبسيط.

$$192p+60q=996,192p+96q=816$$

اطرح 192p+96q=816 من 192p+60q=996 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$192p-192p+60q-96q=996-816$$

اجمع 192p مع -192p. حذف الحدين 192p و-192p، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$60q-96q=996-816$$

اجمع 60q مع -96q.

$$-36q=996-816$$

اجمع 996 مع -816.

$$-36q=180$$

قسمة طرفي المعادلة على -36.

$$q=-5$$

عوّض عن q بالقيمة -5 في 12p+6q=51. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$12p+6\left(-5\right)=51$$

اضرب 6 في -5.

$$12p-30=51$$

أضف 30 إلى طرفي المعادلة.

$$12p=81$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$p=\frac{27}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$