حل {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$15x+107y=1$$

اطرح 107y من طرفي المعادلة.

$$15x=-107y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{15} في -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-107y+1}{15} في المعادلة الأخرى، 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

اضرب 71 في \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

اجمع -\frac{7597y}{15} مع 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

اطرح \frac{71}{15} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4912}{15}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{547}{614}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{547}{614} في x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

اضرب -\frac{107}{15} في \frac{547}{614} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

اجمع \frac{1}{15} مع -\frac{58529}{9210} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

لجعل 15x و71x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 71 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

تبسيط.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

اطرح 1065x+2685y=-4305 من 1065x+7597y=71 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

اجمع 1065x مع -1065x. حذف الحدين 1065x و-1065x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7597y-2685y=71+4305$$

اجمع 7597y مع -2685y.

$$4912y=71+4305$$

اجمع 71 مع 4305.

$$4912y=4376$$

قسمة طرفي المعادلة على 4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{547}{614} في 71x+179y=-287. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

اضرب 179 في \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

اطرح \frac{97913}{614} من طرفي المعادلة.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

قسمة طرفي المعادلة على 71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$