حل {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$13x+20y=48$$

اطرح 20y من طرفي المعادلة.

$$13x=-20y+48$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

اضرب \frac{1}{13} في -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-20y+48}{13} في المعادلة الأخرى، 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

اضرب 20 في \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

اجمع -\frac{400y}{13} مع 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

اطرح \frac{960}{13} من طرفي المعادلة.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{809}{13}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{947}{809}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{947}{809} في x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

اضرب -\frac{20}{13} في -\frac{947}{809} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

اجمع \frac{48}{13} مع \frac{18940}{10517} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4444}{809}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

لجعل 13x و20x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 20 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

تبسيط.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

اطرح 260x+1209y=13 من 260x+400y=960 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

اجمع 260x مع -260x. حذف الحدين 260x و-260x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$400y-1209y=960-13$$

اجمع 400y مع -1209y.

$$-809y=960-13$$

اجمع 960 مع -13.

$$-809y=947$$

قسمة طرفي المعادلة على -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{947}{809} في 20x+93y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

اضرب 93 في -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

أضف \frac{88071}{809} إلى طرفي المعادلة.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$