حل {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$12x+4y=6$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$12x=-4y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{12} في -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

اضرب 9 في -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

اجمع -3y مع 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$13y=\frac{7}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{26} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{7}{26} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -\frac{7}{78} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{16}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

لجعل 12x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

تبسيط.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

اطرح 108x+192y=96 من 108x+36y=54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

اجمع 108x مع -108x. حذف الحدين 108x و-108x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36y-192y=54-96$$

اجمع 36y مع -192y.

$$-156y=54-96$$

اجمع 54 مع -96.

$$-156y=-42$$

قسمة طرفي المعادلة على -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{26} في 9x+16y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

اضرب 16 في \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

اطرح \frac{56}{13} من طرفي المعادلة.

$$9x=\frac{48}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$