حل {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-1$$

$$b=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$12a+4b=-4$$

اطرح 4b من طرفي المعادلة.

$$12a=-4b-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

اضرب \frac{1}{12} في -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-b-1}{3} في المعادلة الأخرى، 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

اضرب 3 في \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

اجمع -b مع -9b.

$$-10b-1=-21$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$-10b=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

اجمع -\frac{1}{3} مع -\frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-1,b=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-1,b=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

لجعل 12a و3a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

تبسيط.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

اطرح 36a-108b=-252 من 36a+12b=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

اجمع 36a مع -36a. حذف الحدين 36a و-36a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12b+108b=-12+252$$

اجمع 12b مع 108b.

$$120b=-12+252$$

اجمع -12 مع 252.

$$120b=240$$

قسمة طرفي المعادلة على 120.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في 3a-9b=-21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$3a-9\times 2=-21$$

اضرب -9 في 2.

$$3a-18=-21$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$3a=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-1,b=2$$