حل {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=-25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x+2y=50$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$10x=-2y+50$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{5}+5 في المعادلة الأخرى، 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

اضرب 7 في -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-25$$

عوّض عن y بالقيمة -25 في x=-\frac{1}{5}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

اضرب -\frac{1}{5} في -25.

$$x=5+5$$

اجمع 5 مع 5.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-25$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=-25$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

اطرح 7x+2y=20 من 10x+2y=50 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10x-7x=50-20$$

اجمع 10x مع -7x.

$$3x=50-20$$

اجمع 50 مع -20.

$$3x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في 7x+2y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$7\times 10+2y=20$$

اضرب 7 في 10.

$$70+2y=20$$

اطرح 70 من طرفي المعادلة.

$$2y=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-25$$