حل {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=280$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y+280$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+280 في المعادلة الأخرى، 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

اضرب 4 في -4y+280.

$$-16y+1120+y=124$$

اجمع -16y مع y.

$$-15y+1120=124$$

اطرح 1120 من طرفي المعادلة.

$$-15y=-996$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=\frac{332}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{332}{5} في x=-4y+280. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

اضرب -4 في \frac{332}{5}.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

اجمع 280 مع -\frac{1328}{5}.

$$x=\frac{72}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

تبسيط.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

اطرح 4x+y=124 من 4x+16y=1120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16y-y=1120-124$$

اجمع 16y مع -y.

$$15y=1120-124$$

اجمع 1120 مع -124.

$$15y=996$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=\frac{332}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{332}{5} في 4x+y=124. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

اطرح \frac{332}{5} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{288}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{72}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$