حل {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.5x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$0.5x=-y+9$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

اضرب 2 في -y+9.

$$x=-2y+18$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+18 في المعادلة الأخرى، 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

اضرب 1.6 في -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

اجمع -\frac{16y}{5} مع \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

اطرح 28.8 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-15.8$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{79}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{79}{15} في x=-2y+18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

اضرب -2 في \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

اجمع 18 مع -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

لجعل \frac{x}{2} و\frac{8x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1.6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

تبسيط.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

اطرح 0.8x+0.1y=6.5 من 0.8x+1.6y=14.4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

اجمع \frac{4x}{5} مع -\frac{4x}{5}. حذف الحدين \frac{4x}{5} و-\frac{4x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

اجمع \frac{8y}{5} مع -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

اجمع 14.4 مع -6.5 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$1.5y=7.9$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{79}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{79}{15} في 1.6x+0.2y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

اضرب 0.2 في \frac{79}{15} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

اطرح \frac{79}{75} من طرفي المعادلة.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.6، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{112}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$