حل {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.2x+0.1y=-180$$

اطرح \frac{y}{10} من طرفي المعادلة.

$$0.2x=-0.1y-180$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

اضرب 5 في -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}-900 في المعادلة الأخرى، -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

اضرب -0.7 في -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

اجمع \frac{7y}{20} مع -\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

اطرح 630 من طرفي المعادلة.

$$0.15y=-150$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.15، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1000$$

عوّض عن y بالقيمة -1000 في x=-0.5y-900. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

اضرب -0.5 في -1000.

$$x=500-900$$

اجمع -900 مع 500.

$$x=-400$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-400,y=-1000$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-400,y=-1000$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

لجعل \frac{x}{5} و-\frac{7x}{10} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -0.7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.2.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

تبسيط.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

اطرح -0.14x-0.04y=96 من -0.14x-0.07y=126 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

اجمع -\frac{7x}{50} مع \frac{7x}{50}. حذف الحدين -\frac{7x}{50} و\frac{7x}{50}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

اجمع -\frac{7y}{100} مع \frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

اجمع 126 مع -96.

$$-0.03y=30$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.03، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1000$$

عوّض عن y بالقيمة -1000 في -0.7x-0.2y=480. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

اضرب -0.2 في -1000.

$$-0.7x+200=480$$

اطرح 200 من طرفي المعادلة.

$$-0.7x=280$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.7، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-400$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-400,y=-1000$$