حل {l}{-x-y=-13}{-3x+2y=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 13 } \\ { - 3 x + 2 y = - 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-y=-13$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=y-13$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(y-13\right)$$

اضرب -1 في y-13.

$$x=-y+13$$

عوّض عن x بالقيمة -y+13 في المعادلة الأخرى، -3x+2y=-19.

$$-3\left(-y+13\right)+2y=-19$$

اضرب -3 في -y+13.

$$3y-39+2y=-19$$

اجمع 3y مع 2y.

$$5y-39=-19$$

أضف 39 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-y+13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4+13$$

اجمع 13 مع -4.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\left(-19\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{1}{5}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

لجعل -x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-3\left(-1\right)x-3\left(-1\right)y=-3\left(-13\right),-\left(-3\right)x-2y=-\left(-19\right)$$

تبسيط.

$$3x+3y=39,3x-2y=19$$

اطرح 3x-2y=19 من 3x+3y=39 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+3y+2y=39-19$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+2y=39-19$$

اجمع 3y مع 2y.

$$5y=39-19$$

اجمع 39 مع -19.

$$5y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في -3x+2y=-19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\times 4=-19$$

اضرب 2 في 4.

$$-3x+8=-19$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-27$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=4$$