حل {l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-5y=14$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=5y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(5y+14\right)$$

اضرب -1 في 5y+14.

$$x=-5y-14$$

عوّض عن x بالقيمة -5y-14 في المعادلة الأخرى، -2x-7y=16.

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

اضرب -2 في -5y-14.

$$10y+28-7y=16$$

اجمع 10y مع -7y.

$$3y+28=16$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$3y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=-5y-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

اضرب -5 في -4.

$$x=20-14$$

اجمع -14 مع 20.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

لجعل -x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

تبسيط.

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

اطرح 2x+7y=-16 من 2x+10y=-28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-7y=-28+16$$

اجمع 10y مع -7y.

$$3y=-28+16$$

اجمع -28 مع 16.

$$3y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -2x-7y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

اضرب -7 في -4.

$$-2x+28=16$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-2x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-4$$