حل {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-5y=11$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=5y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

اضرب -1 في 5y+11.

$$x=-5y-11$$

عوّض عن x بالقيمة -5y-11 في المعادلة الأخرى، 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

اضرب 2 في -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

اجمع -10y مع y.

$$-9y-22=9$$

أضف 22 إلى طرفي المعادلة.

$$-9y=31$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{31}{9} في x=-5y-11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

اضرب -5 في -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

اجمع -11 مع \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

لجعل -x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

تبسيط.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

اطرح -2x-y=-9 من -2x-10y=22 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y+y=22+9$$

اجمع -10y مع y.

$$-9y=22+9$$

اجمع 22 مع 9.

$$-9y=31$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{31}{9} في 2x+y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

أضف \frac{31}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{112}{9}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{56}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$