حل {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-2y=9$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=2y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

اضرب -1 في 2y+9.

$$x=-2y-9$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-9 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

اضرب 3 في -2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

اجمع -6y مع -2y.

$$-8y-27=21$$

أضف 27 إلى طرفي المعادلة.

$$-8y=48$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-2y-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

اضرب -2 في -6.

$$x=12-9$$

اجمع -9 مع 12.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

اطرح 3x-2y=21 من -x-2y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-x-3x=9-21$$

اجمع -x مع -3x.

$$-4x=9-21$$

اجمع 9 مع -21.

$$-4x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في 3x-2y=21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\times 3-2y=21$$

اضرب 3 في 3.

$$9-2y=21$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-2y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-6$$