حل {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-2y=-7$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=2y-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

اضرب -1 في 2y-7.

$$x=-2y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+7 في المعادلة الأخرى، 2x+2y=16.

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

اضرب 2 في -2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

اجمع -4y مع 2y.

$$-2y+14=16$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$-2y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-2y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

اضرب -2 في -1.

$$x=2+7$$

اجمع 7 مع 2.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

لجعل -x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

تبسيط.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

اطرح -2x-2y=-16 من -2x-4y=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+2y=-14+16$$

اجمع -4y مع 2y.

$$-2y=-14+16$$

اجمع -14 مع 16.

$$-2y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+2y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

اضرب 2 في -1.

$$2x-2=16$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=-1$$