حل {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+5y=-1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-x=-5y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

اضرب -1 في -5y-1.

$$x=5y+1$$

عوّض عن x بالقيمة 5y+1 في المعادلة الأخرى، x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

اجمع 5y مع 2y.

$$7y+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$7y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{7} في x=5y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

اضرب 5 في \frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

اجمع 1 مع \frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

لجعل -x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

اطرح -x-2y=-5 من -x+5y=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

اجمع -x مع x. حذف الحدين -x وx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+2y=-1+5$$

اجمع 5y مع 2y.

$$7y=-1+5$$

اجمع -1 مع 5.

$$7y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{7} في x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

اضرب 2 في \frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

اطرح \frac{8}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{27}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$