حل {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

اطرح \frac{3y}{4} من طرفي المعادلة.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

اضرب -1 في -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{4}-7 في المعادلة الأخرى، 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

اضرب 4 في \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

اجمع 3y مع -y.

$$2y-28=-16$$

أضف 28 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=\frac{3}{4}y-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

اضرب \frac{3}{4} في 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

اجمع -7 مع \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

لجعل -x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

تبسيط.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

اطرح -4x+y=16 من -4x+3y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-y=28-16$$

اجمع 3y مع -y.

$$2y=28-16$$

اجمع 28 مع -16.

$$2y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 4x-y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-6=-16$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$