حل {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-9x-y=-3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

اضرب -\frac{1}{9} في y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} في المعادلة الأخرى، -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

اضرب -8 في -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

اجمع \frac{8y}{9} مع 2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

أضف \frac{8}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{26}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{1}{9} في -6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

لجعل -9x و-8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -9.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

تبسيط.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

اطرح 72x-18y=180 من 72x+8y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

اجمع 72x مع -72x. حذف الحدين 72x و-72x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+18y=24-180$$

اجمع 8y مع 18y.

$$26y=24-180$$

اجمع 24 مع -180.

$$26y=-156$$

قسمة طرفي المعادلة على 26.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في -8x+2y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

اضرب 2 في -6.

$$-8x-12=-20$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-6$$