حل {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-9x-7y=17$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=7y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

اضرب -\frac{1}{9} في 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y-17}{9} في المعادلة الأخرى، 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

اضرب 10 في \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

اجمع -\frac{70y}{9} مع 7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

أضف \frac{170}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

اضرب -\frac{7}{9} في -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

اجمع -\frac{17}{9} مع \frac{35}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

لجعل -9x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -9.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

تبسيط.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

اطرح -90x-63y=135 من -90x-70y=170 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

اجمع -90x مع 90x. حذف الحدين -90x و90x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-70y+63y=170-135$$

اجمع -70y مع 63y.

$$-7y=170-135$$

اجمع 170 مع -135.

$$-7y=35$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في 10x+7y=-15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

اضرب 7 في -5.

$$10x-35=-15$$

أضف 35 إلى طرفي المعادلة.

$$10x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-5$$