حل {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-9x-6y=6$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=6y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

اضرب -\frac{1}{9} في 6+6y.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y-2}{3} في المعادلة الأخرى، 3x-6y=-18.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

اضرب 3 في \frac{-2y-2}{3}.

$$-2y-2-6y=-18$$

اجمع -2y مع -6y.

$$-8y-2=-18$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-8y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في 2.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

اجمع -\frac{2}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

اطرح 3x-6y=-18 من -9x-6y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

اجمع -6y مع 6y. حذف الحدين -6y و6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9x-3x=6+18$$

اجمع -9x مع -3x.

$$-12x=6+18$$

اجمع 6 مع 18.

$$-12x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$x=-2$$

عوّض عن x بالقيمة -2 في 3x-6y=-18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

اضرب 3 في -2.

$$-6-6y=-18$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-6y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=2$$