حل {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-9x+6y=13$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$-9x=-6y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

اضرب -\frac{1}{9} في -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} في المعادلة الأخرى، cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

اضرب c في \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

اجمع \frac{2cy}{3} مع 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

أضف \frac{13c}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} في x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

اجمع -\frac{13}{9} مع \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

لجعل -9x وcx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في c وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

تبسيط.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

اطرح \left(-9c\right)x-72y=108 من \left(-9c\right)x+6cy=13c عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

اجمع -9cx مع 9cx. حذف الحدين -9cx و9cx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6cy+72y=13c-108$$

اجمع 6cy مع 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

قسمة طرفي المعادلة على 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} في cx+8y=-12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

اضرب 8 في \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

اطرح \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} من طرفي المعادلة.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

قسمة طرفي المعادلة على c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$