حل {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x-6y=30$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=6y+30$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في 30+6y.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-15}{4} في المعادلة الأخرى، -6x+2y=-10.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

اضرب -6 في \frac{-3y-15}{4}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

اجمع \frac{9y}{2} مع 2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

اطرح \frac{45}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -5.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

اجمع -\frac{15}{4} مع \frac{15}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

لجعل -8x و-6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

تبسيط.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

اطرح 48x-16y=80 من 48x+36y=-180 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

اجمع 48x مع -48x. حذف الحدين 48x و-48x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36y+16y=-180-80$$

اجمع 36y مع 16y.

$$52y=-180-80$$

اجمع -180 مع -80.

$$52y=-260$$

قسمة طرفي المعادلة على 52.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في -6x+2y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

اضرب 2 في -5.

$$-6x-10=-10$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$-6x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-5$$