حل {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x-6y=-10$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=6y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في 6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+5}{4} في المعادلة الأخرى، x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{27}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

لجعل -8x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

تبسيط.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

اطرح -8x+8y=-136 من -8x-6y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-8y=-10+136$$

اجمع -6y مع -8y.

$$-14y=-10+136$$

اجمع -10 مع 136.

$$-14y=126$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x-y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-9\right)=17$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-9$$