حل {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x+7y=13$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$-8x=-7y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في -7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y-13}{8} في المعادلة الأخرى، 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

اضرب 7 في \frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

اجمع \frac{49y}{8} مع -9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

أضف \frac{91}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{23}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

اضرب \frac{7}{8} في 3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

اجمع -\frac{13}{8} مع \frac{21}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

لجعل -8x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

تبسيط.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

اطرح -56x+72y=160 من -56x+49y=91 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

اجمع -56x مع 56x. حذف الحدين -56x و56x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$49y-72y=91-160$$

اجمع 49y مع -72y.

$$-23y=91-160$$

اجمع 91 مع -160.

$$-23y=-69$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 7x-9y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-9\times 3=-20$$

اضرب -9 في 3.

$$7x-27=-20$$

أضف 27 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$