حل {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x+7y=-9$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$-8x=-7y-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في -7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y+9}{8} في المعادلة الأخرى، -9x+7y=-18.

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

اضرب -9 في \frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

اجمع -\frac{63y}{8} مع 7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

أضف \frac{81}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

اضرب \frac{7}{8} في 9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

اجمع \frac{9}{8} مع \frac{63}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

اطرح -9x+7y=-18 من -8x+7y=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

اجمع 7y مع -7y. حذف الحدين 7y و-7y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8x+9x=-9+18$$

اجمع -8x مع 9x.

$$x=-9+18$$

اجمع -9 مع 18.

$$x=9$$

عوّض عن x بالقيمة 9 في -9x+7y=-18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-9\times 9+7y=-18$$

اضرب -9 في 9.

$$-81+7y=-18$$

أضف 81 إلى طرفي المعادلة.

$$7y=63$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=9$$