حل {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x+4y=8$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-8x=-4y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}-1 في المعادلة الأخرى، 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

اضرب 8 في \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

اجمع 4y مع -y.

$$3y-8=16$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=\frac{1}{2}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

اضرب \frac{1}{2} في 8.

$$x=4-1$$

اجمع -1 مع 4.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

لجعل -8x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

تبسيط.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

اطرح -64x+8y=-128 من -64x+32y=64 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

اجمع -64x مع 64x. حذف الحدين -64x و64x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y-8y=64+128$$

اجمع 32y مع -8y.

$$24y=64+128$$

اجمع 64 مع 128.

$$24y=192$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في 8x-y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x-8=16$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$8x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=8$$